设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα3=α2+α3，证明α1，α2，α3线性无关．

admin2016-10-20 64

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα₃=α₂+α₃，证明α₁，α₂，α₃线性无关．

选项

答案(1)(用定义) 据已知条件有Aα₁=-α₁，Aα₂=α₂，Aα₃=α₂+α₃．设 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0， ① 用A左乘①式的两端，并代人已知条件，有 -k₁α₁+k₂α₂+k₃(α₂+α₃)=0． ② ①-②得 2k₁α₁-k₂α₂=0．由于α₁，α₂是矩阵A不同特征值的特征向量，所以α₁，α₂线性无关，从而k₁=0，k₃=0．将其代入①式得k₂α₂=0．因为α₂是特征向量，必有α₂≠0，从而k₂=0．因此，α₁，α₂，α₃线性无关． (2)(用反证法) 设α₁，α₂，α₃线性相关，由于α₁，α₂是矩阵A不同特征值的特征向量，所以 α₁，α₂必线性无关．从而α₃可以由α₁，α₂线性表出．不妨设 α₃=k₁α₁+k₂α₂， ① 用A左乘①式两端，并把Aα₃=α₂+α₃，Aα₁=-α₁，Aα₂=α₂代入，得 α₂+α₂₃=-k₁α₁+k₂α₂． ② ①-②得 -α₂=2k₁α₁．由此得出α₁，α₂线性相关，与题设矛盾，故α₁，α₂，α₃线性无关．

解析

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考研数学三

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设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα3=α2+α3，证明α1，α2，α3线性无关．

考研数学三

设向量组(Ⅰ)：α1=(α11，α21，α31)T，α2=(α12，α22，α32)T，α3=(α12，α23，α33)T，向量组(Ⅱ)：β1=(α11，α21，α31,α41)T，β2=(α12，α22，α32,α42)T，β3=(α12，α2

设α1，α2，…，αm-1(m≥3)线性相关，向量组α2，…，αm线性无关，试讨论αm能否由α1，α2，…，αm-1线性表示?

利用概率测度的性质证明：在投掷两枚硬币的试验中，第一枚是均匀的当且仅当P({(H，H)，(H，T)})=1/2；第二枚硬币是均匀的当且仅当P({(H，H)，(T，H)})=1/2，其中H表示硬币出现的是正面，T表示硬币出现的是反面．

设α1，α2，…，αr(r≤n)是互不相同的数，αi=(1，αi，αi2，…，αin-1)(i=1，2，…，r)，问α1，α2，…，αr是否线性相关?

设向量组B：β1，β2，…，βr能由向量组A：α1，α2，…，αs线性表示为：其中，K为r×s矩阵，且向量组A线性无关，证明：向量组B线性无关的充要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

求由下列方程所确定的隐函数y＝y(x)的导数dy／dx：(1)y＝1－xey；(2)xy＝ex＋y；(3)xy＝yx；(4)y＝1＋xsiny．

设f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，求极限

计算下列各题：

爆震强，推迟点火角度_，爆震弱，推迟的角度_。

低热是指腋下体温在()

实施经腹输卵管结扎术，下述不适宜的时期是

中宣部、国家安全生产监管总局、公安部、广电总局、全国总工会、团中央和全国妇联等组织开展了2011年全国安全生产月活动，该活动的主题是()。

在中国历史上，唐朝、宋朝是中国文学最兴盛的朝代。唐宋八大家中有父子三人，人称“三苏”，其中不包括()。‘

要求学生“尽可能多地列举出报纸的用途”，学生给出“学习用”“包东西”等各种各样的答案，这里考查的是创造性思维的()

下列选项中不属于定性分析的理论的是

______today,hewouldgettherebySaturday.

HowmanykindsofdoctorsarethereintheUS?______.

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设α1，α2，…，αm-1(m≥3)线性相关，向量组α2，…，αm线性无关，试讨论αm能否由α1，α2，…，αm-1线性表示?

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设向量组B：β1，β2，…，βr能由向量组A：α1，α2，…，αs线性表示为：其中，K为r×s矩阵，且向量组A线性无关，证明：向量组B线性无关的充要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

求由下列方程所确定的隐函数y＝y(x)的导数dy／dx：(1)y＝1－xey；(2)xy＝ex＋y；(3)xy＝yx；(4)y＝1＋xsiny．

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