2. 考研
  3. 设a为常数，讨论两曲线y=ex与的公共点的个数及相应的a的取值范围．

设a为常数，讨论两曲线y=ex与的公共点的个数及相应的a的取值范围．

admin2018-07-23  135
问题 设a为常数，讨论两曲线y=ex与的公共点的个数及相应的a的取值范围．
选项
答案若a=0，则易知y=ex与y=0无公共点，以下设a≠0．讨论y=ex与[*]交点的个数，等同于讨论方程[*]的根的个数，亦即等同于讨论函数 f(x)=xex－a 的零点个数． [*] 得唯一驻点x0=－1．当x<－1时，fˊ(x)<0；当x>－1时，fˊ(x)>0．所以 min{f(x)}=f(－1)=－e－1－a． 又 [*] ①设－e－1－a >0，即设a＜－e－1，则min{ f (x)}>0，f (x)无零点； ②设－e－1－a=0，即设a=－e－1，则f(x)有唯一零点x0=－1； ③设－e－1－a <0，即设a>－e－1．又分两种情形： (i)设－e－1＜a＜0．则有f(－∞)=－a >0．f(－1)=－e－1－a <0．而在区间(－∞，－1)内f(x)单调递减，在区间(－1，+∞)内f(x)单调递增．故f(x)有且仅有两个零； (ii)设a>0．易知f(x)=xex在区间(－∞，0]内无零点，而在区间(0，+∞)内，f(0)=－a <0，f(+∞)=+∞，fˊ(x)=(x+1)ex>0，所以f(x)在区间(0，+∞)内刚好有1个零点．讨论完毕． 综上，结论是： 当a<－e－1或a=0时，无交点；当a=－e－1时，有唯一交点(切点)；当－e－1＜a＜0时．有两个交点；当a>0时，在区间(－∞，0]内无交点．而在区间(0，+∞)内，即第一象限内有唯一交点．
解析
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考研数学二

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