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  3. 已知齐次线性方程组(Ⅰ)为齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ1=[-1，1，2，4]T，ξ2=[1，0，1，1]T． 求方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系线性表示．

已知齐次线性方程组(Ⅰ)为齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ1=[-1，1，2，4]T，ξ2=[1，0，1，1]T． 求方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系线性表示．

admin2021-07-27  57
问题 已知齐次线性方程组(Ⅰ)为齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ1=[-1，1，2，4]T，ξ2=[1，0，1，1]T．
求方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系线性表示．
选项
答案解得方程组(Ⅰ)的基础解系η1，η2，于是，方程组(Ⅰ)的通解为k1η1+k2η2=k，[2，-1，1，0]T+k2[-1，1，0，1]T(k1，k2为任意常数)．由题设知，方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ1，ξ2，其通解为l1ξ1+l2ξ2=l1[-1，1，2，4]T+l2[1，0，1，1]T(l1，l2为任意常数)．为求方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解，令它们的通解相等，即k1[2，-1，1，0]T+k2[-1，1，0，1]T=l1[-1，1，2，4]T+l2[1，0，1，1]T．从而，得到关于k1，k2，l1，l2的方程组[*]对此方程组的系数矩阵作初等行变换，得[*]由此可得，k1=k2=l2，l1=0．所以，令k1=k2=k，方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的非零公共解是k[2，-1，1，0]T+k[-1，1，0，1]T=k[1，0，1，1]T(k为任意非零常数)．并且，方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的非零公共解分别由方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系线性表示为k(η1+η2)和kξ2，其中k为任意非零常数．
解析
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考研数学二

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