已知矩阵A=有特征值λ=5，求a的值；当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q—1AQ=Λ。

admin2019-03-23 55

问题已知矩阵A=

有特征值λ=5，求a的值；当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q^—1AQ=Λ。

选项

答案因λ=5是矩阵A的特征值，则由｜5E—A｜=[*]=3(4—a²)=0，可得a=±2。当a＞0，即a=2时，则由矩阵A的特征多项式｜λE—A｜=[*]=(λ—2)(λ—5)(λ—1)=0，可得矩阵A的特征值是1，2，5。由(E—A)x=0，得基础解系α₁=(0，1，—1)^T；由(2E—A)x=0，得基础解系α₂=(1，0，0)^T；由(5E—A)z=0，得基础解系α₃=(0，1，1)^T。即矩阵A属于特征值1，2，5的特征向量分别是α₁，α₂，α₃。由于A为实对称矩阵，且实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故只需将以上特征向量单位化，即有 [*] 那么，令Q=(γ₁，γ₂，γ₃)=[*]，则有Q^—1AQ=[*]。

解析

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考研数学二

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