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设α1，α2，α3，α4线性无关，β1=2α1+α3+α4，β2=2α1+α2+α3，β3=α2－α4，β4=α3+α4，β5=α2+α3． (1)求r(β1，β2，β3，β4，β5)； (2)求β1，β2，β3，β4，β5的一个最大无关组．
设α1，α2，α3，α4线性无关，β1=2α1+α3+α4，β2=2α1+α2+α3，β3=α2－α4，β4=α3+α4，β5=α2+α3． (1)求r(β1，β2，β3，β4，β5)； (2)求β1，β2，β3，β4，β5的一个最大无关组．
admin
2019-03-21
51
问题
设α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关，β
1
=2α
1
+α
3
+α
4
，β
2
=2α
1
+α
2
+α
3
，β
3
=α
2
－α
4
，β
4
=α
3
+α
4
，β
5
=α
2
+α
3
．
(1)求r(β
1
，β
2
，β
3
，β
4
，β
5
)；
(2)求β
1
，β
2
，β
3
，β
4
，β
5
的一个最大无关组．
选项
答案
(1)β
1
，β
2
，β
3
，β
4
，β
5
对α
1
，α
2
，α
3
，α
4
的表示矩阵为 [*] 用初等行变换化为阶梯形矩阵： [*] 则r(β
1
，β
2
，β
3
，β
4
，β
5
)=r(C)=3． (2)记C的列向量组为γ
1
，γ
2
，γ
3
，γ
4
，γ
5
．则由(1)的计算结果知γ
1
，γ
2
，γ
4
是线性无关的．又 (β
1
，β
2
，β
4
)=(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)(γ
1
，γ
2
，γ
4
) 得到r(β
1
，β
2
，β
4
)=r(γ
1
，γ
2
，γ
4
)=3，β
1
，β
2
，β
4
线性无关，是β
1
，β
2
，β
3
，β
4
，β
5
的一个最大无关组．
解析
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考研数学二
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