已知y1=xex+e2x，y2=xex+e－x)，y3*=xex+e2x－e－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解．试求其通解及该微分方程．

admin2017-05-31 95

问题已知y₁^*=xe^x+e^2x，y₂^*=xe^x+e^－x)，y₃^*=xe^x+e^2x－e^－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解．试求其通解及该微分方程．

选项

答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y₁^*－y₃^*=e^－x，y₂^*－y₃^*=2e^－x－e^2x 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y₁=e^－x， y ₂=2( y₁^*－y₃^*)－(y₂^*－y₃^*)=e^2x，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y₄^*=y₁^*－y₂=xe^x．因此该非齐次方程的通解是y=C₁e^－x+C₂e^2x+xe^x，其中C₁，C₂为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y"+py’+qy=f(x)．它的相应特征根是λ₁=－1，λ₂=2，于是特征方程是 (λ+1)(λ－2)=0，即 λ²－λ－2=0．因此方程为y"－y’－2y=f(x)．再将特解y₄^*=xe^x代入得 (x+2)e^x－(x+1)e^x－2xe^x=f(x)，即 f(x)=(1－2x)e^x 因此方程为y"－y’－2y=(1－2x)e^x．

解析

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考研数学二

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已知y1=xex+e2x，y2=xex+e－x)，y3*=xex+e2x－e－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解．试求其通解及该微分方程．

考研数学二

设y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0确定的x，y的函数，且f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求dy/dx．

求二元函数f(x，y)=x3-3x2-9x+y2-2y+2的极值．

求下列隐函数的导数(其中，a，b为常数)：(1)x2＋y2－xy＝1(2)y2－2axy＋b＝0(3)y＝x＋lny(4)y＝1＋xey(5)arcsiny＝ex＋y

在yOx面上，求与A(3，1，2)，B(4，－2，－2)和C(0，5，1)等距的点.

设一机器在任意时刻以常数比率贬值．若机器全新时价值10000元，5年末价值6000元，求其在出厂20年末的价值．

一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆．现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为3/2b时(如图)，计算油的质量．(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg／m3)

级数的部分和数列Sn有界是该级数收敛的[]．

(2010年试题，18)一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时(如图1—3-3)，计算油的质量．(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρ，其单位为kg／m3)

(1)证明：对任意正整数n，都有成立．(2)设(n＝1，2，…)，证明数列{an}收敛．

把x→0+时的无穷小排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，那么正确的排列顺序是

设S1表示上半球面x2+y2+z2=R2，z≥0的上侧，设S2表示下半球面x2+y2+z2=R2，z≤0的下侧．若曲面积分I1=zdxdy，I2=zdxdy，则必有()

Hewasfound______onemonthafterhewasborn.

电讯检疫：国际航行船舶的电讯检疫一般是由船舶公司或船舶代理申请，同时符合下列条件：()

国外理财业务的形成与发展时期是()。

下列各项中，导致成本法核算的长期股权投资的账面价值发生增减变动的有()。

在选择性旅游中，不可选择部分包括()。

下面叙述正确的是()。

______hehaslimitedtechnicalknowledge,theoldworkerhasalotofexperience.

已知y1*=xex+e2x，y2*=xex+e－x)，y3*=xex+e2x－e－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解．试求其通解及该微分方程．

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设y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0确定的x，y的函数，且f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求dy/dx．

求二元函数f(x，y)=x3-3x2-9x+y2-2y+2的极值．

求下列隐函数的导数(其中，a，b为常数)：(1)x2＋y2－xy＝1(2)y2－2axy＋b＝0(3)y＝x＋lny(4)y＝1＋xey(5)arcsiny＝ex＋y

在yOx面上，求与A(3，1，2)，B(4，－2，－2)和C(0，5，1)等距的点.

设一机器在任意时刻以常数比率贬值．若机器全新时价值10000元，5年末价值6000元，求其在出厂20年末的价值．

一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆．现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为3/2b时(如图)，计算油的质量．(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg／m3)

级数的部分和数列Sn有界是该级数收敛的[]．

(2010年试题，18)一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时(如图1—3-3)，计算油的质量．(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρ，其单位为kg／m3)

(1)证明：对任意正整数n，都有成立．(2)设(n＝1，2，…)，证明数列{an}收敛．

把x→0+时的无穷小排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，那么正确的排列顺序是

设S1表示上半球面x2+y2+z2=R2，z≥0的上侧，设S2表示下半球面x2+y2+z2=R2，z≤0的下侧．若曲面积分I1=zdxdy，I2=zdxdy，则必有()

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国外理财业务的形成与发展时期是()。

下列各项中，导致成本法核算的长期股权投资的账面价值发生增减变动的有()。

在选择性旅游中，不可选择部分包括()。

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已知y1=xex+e2x，y2=xex+e－x)，y3*=xex+e2x－e－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解．试求其通解及该微分方程．