2. 考研
  3. (2002年)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy面，其底部所占的区域为D={(x，y)|x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy。 (I)设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上什么

(2002年)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy面，其底部所占的区域为D={(x，y)|x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy。 (I)设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上什么

admin2021-01-15  5
问题 (2002年)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy面，其底部所占的区域为D={(x，y)|x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy。
    (I)设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0，y0)，写出g(x0，y0)的表达式；
    (Ⅱ)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说，要在D的边界线x2+y2一xy=75上找出使(I)中g(x，y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。
选项
答案(I)由梯度向量的重要性质：函数h(x，y)在点M处沿该点的梯度方向 [*] 方向导数取最大值即 [*] (Ⅱ)根据题意，即求g(x，y)在条件x2+y2一xy一75=0下的最大值点，即g2(x，y)=(y-2x)2+(x一2y)2=5x2+5y2一8xy在条件x2+y2一xy一75=0下的最大值点。 这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法。令 L(x，y，λ)=5x2+5y2一8xy+λ(x2+y2一xy一75)， 则有 [*] 解此方程组得可能的条件极值点为 [*] 现比较f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2一8xy在这些点的函数值： f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150。 因为实际问题存在最大值，且只可能在M1，M2，M3，M4中取到。因此g2(x，y)在M1，M2取在D的边界上的最大值，即M1(5，一5)，M2(一5，5)可作为攀登的起点。
解析
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考研数学一

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