设函数f(x)满足xf’(x)－3f(x)=－6x2,且由曲线y=f(x)与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求D的面积。

admin2022-03-14 86

问题设函数f(x)满足xf’(x)－3f(x)=－6x²,且由曲线y=f(x)与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求D的面积。

选项

答案一阶线性方程xy’－3y=－6x²可化为标准形式[*]，通解是y=cx³+6x²，由曲线y=cx³+6x²,直线x=1与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积 V(c)=π∫₀¹y²dx=π∫₀¹(cx³+6x²)²dx =[*] 因为[*]，可见V(c)在唯一驻点c=－7处取得极小值，也就是最小值，由此求得曲线y=f(x)=6x²－7x³,则对应的平面图形D的面积为 S=∫₀¹｜6x²－7x³｜dx=[*] =[*]

解析

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考研数学三

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