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设函数f(x)满足xf’(x)-3f(x)=-6x2,且由曲线y=f(x)与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小,试求D的面积。
设函数f(x)满足xf’(x)-3f(x)=-6x2,且由曲线y=f(x)与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小,试求D的面积。
admin
2022-03-14
105
问题
设函数f(x)满足xf’(x)-3f(x)=-6x
2
,且由曲线y=f(x)与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小,试求D的面积。
选项
答案
一阶线性方程xy’-3y=-6x
2
可化为标准形式[*],通解是y=cx
3
+6x
2
,由曲线y=cx
3
+6x
2
,直线x=1与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积 V(c)=π∫
0
1
y
2
dx=π∫
0
1
(cx
3
+6x
2
)
2
dx =[*] 因为[*],可见V(c)在唯一驻点c=-7处取得极小值,也就是最小值,由此求得曲线y=f(x)=6x
2
-7x
3
,则对应的平面图形D的面积为 S=∫
0
1
|6x
2
-7x
3
|dx=[*] =[*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/lbR4777K
0
考研数学三
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