设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )．

admin2019-07-12 49

问题设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )．

选项 A、λE－A=λE－B
B、A与B有相同的特征值和特征向量
C、A与B都相似于一个对角矩阵
D、对任意常数t，tE－A与tE－B相似

答案D

解析解一  因A与B相似，则相似矩阵的多项式仍然相似．对任意常数t，tE一A与tE一B可看成相似矩阵A与B的一次矩阵多项式．由命题2．5．3．1知，必有tE－A～tE－B．仅(D)入选．
解二  因A与B相似，存在可逆矩阵P，使P^－1AP=B，进而对任意常数t，有
            P^－1(tE-A)P=P^－1tEP－P^－1AP=tE－B．
因而对任意常数t，tE－A与tE－B相似．仅(D)入选．

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