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  3. 设n维列向量组α1，...αm(m

设n维列向量组α1，...αm(m

admin2019-05-15  55
问题 设n维列向量组α1，...αm(m1，β2，...,βm线性无关的充分必要条件为
选项 A、向量组α1，...αm可由向量β1，β2，...,βm线性表示．
B、向量组α1，...αm可由向量β1，β2，...,βm线性表示．
C、向量组α1，...αm与向量组β1，β2，...,βm等价．
D、矩阵A=(α1，...αm)与矩阵B=(β1，β2，...,βm)等价．   
答案D
解析 向量组β1，β2，...,βm线性无关 向量组的秩r(β1，β2，...,βm)=m．
根据定理“若α1，...αm，可由β1，β2，...,βm线性表出，则r(α1，...αm)≤r(β1，β2，...,βm)”．
若α1，...αm可由β1，β2，...,βm线性表示，则有r(α1，...αm)≤r(β1，β2，...,βm)．
又因α1，...αm线性无关，知r(α1，...αm)=m．从而m≤r(β1，β2，...,βm)．
又因β1，β2，...,βm是m个向量，知r(β1，β2，...,βm)≤m．故r(β1，β2，...,βm)=m，即β1，β2，...,βm线性无关．可见(A)是充分条件．那么(A)是必要的吗?即
α1，...αm与β1，β2，...,βm均线性无关，能否推导出α1，...αm必可由β1，β2，...,βm线性表示?
α1α2与β1β2
α1，α2与β1，β2均线性无关，但α1，α2小能由β1，β2线性表示．
所以(A)只是充分条件并不必要．
对于(B)，有r(β1，β2，...,βm)≤r(α1，...αm)=rn．
因此由(B)不能推导β1，β2，...,βm线性无关，即充分性A成立．同(A)后之例，知(B)不是必要条件，所以(B)对于β1，β2，...,βm线性无关是不充分义不必要的条件．
至于(C)，所谓α1，...αm与β1，β2，...,βm等价，即这两个向量组出以互棉线性表出，m(A)知它只是一个充分条件。
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