已知是矩阵的一个特征向量。问A能否相似对角化，并说明理由。

admin2019-01-26 48

问题已知

是矩阵

的一个特征向量。
问A能否相似对角化，并说明理由。

选项

答案A的特征多项式为 [*] 所以A的特征值为λ₁=1，λ₂=λ₃=2。对应单根λ₁=1，可求得线性无关的特征向量恰有1个，故矩阵A可相似对角化的充分必要条件为对应重根λ₂=λ₃=2有2个线性无关的特征向量，即方程(A－2E)x=0有2个线性无关的解，则系数矩阵A-2E的秩r(A－2E)=1。 [*] 故r(A－2E)=1，所以矩阵A可相似对角化。

解析

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