(2008年)设f(χ)是区间[0，＋∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)＝1．对任意的t∈[0，＋∞)，直线χ＝0，χ＝t，曲线y＝f(χ)以及χ轴所围成的曲边梯形绕z轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f

admin2016-05-30 91

问题 (2008年)设f(χ)是区间[0，＋∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)＝1．对任意的t∈[0，＋∞)，直线χ＝0，χ＝t，曲线y＝f(χ)以及χ轴所围成的曲边梯形绕z轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(χ)的表达式．

选项

答案旋转体的体积V＝π∫₀^tf²(χ)dχ，侧面积S＝2π∫₀^tf(χ)[*]，由题设条件知 [*] 上式两端对t求导得f²(t)＝f(t)[*] 即y′＝[*]．由分离变量法解得 [*] 将y(0)＝1代入知C＝1，故 [*] 于是所求函数为y＝f(χ)＝[*](e^χ＋e^－χ)．

解析

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考研数学二

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考研数学二

求极限：

将f(x)=ln(2-2x2-4x4)展开成为x的幂函数．

求极限：

求直线L：与平面π：x+y+z+1=0的交点．

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设f′(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜bf(b).证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得

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