2. 考研
  3. 设f′(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜bf(b). 证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得

设f′(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜bf(b). 证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得

admin2022-08-19  107
问题 设f′(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜bf(b).
证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得
选项
答案令h=(b-a)/n，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)，所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n-1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在a＜c1＜c2＜…＜cn-1＜b，使得 f(c1)=a+h，f(c2)=a+2h，…，f(cn-1)=a+(n-1)h，再由微分中值定理，得 f(c1)-f(a)=f′(ξ1)(c1-a)，ξ1∈(a，c14)， f(c2)-f(c1)=f′(ξ2)(c2-c1)，ξ2∈(c1，c2)，… f(b)-f(cn-1)=f′(ξn)(b-cn-1)，ξn∈(cn-14，b)， [*]
解析
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考研数学三

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