设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．

admin2019-09-04 85

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，

证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．

选项

答案不妨设f(a)＞0，f(b)＞0，[*]＜0，令φ(x)=e^-xf(x)，则 φ’(x)=e^-x[f’(x)-f(x)]．因为φ(a)＞0，[*]＜0，φ(b)＞0，所以存在ξ₁∈[*]使得φ(ξ₁)=φ(ξ₂)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](a，b)，使得φ’(ξ)=0，即e^-ξ[f’(ξ)-f(ξ)]=0，因为e^-ξ≠0，所以f’(ξ)=f(ξ)．

解析

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考研数学三

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