G={(x，y)|x2+y2≤r2}是以原点为圆心，半径为r的圆形区域，而随机变量X和Y的联合分布是在区域G上的均匀分布．试确定随机变量X和Y的独立性和相关性．

admin2018-09-20 106

问题 G={(x，y)|x²+y²≤r²}是以原点为圆心，半径为r的圆形区域，而随机变量X和Y的联合分布是在区域G上的均匀分布．试确定随机变量X和Y的独立性和相关性．

选项

答案X和Y的联合概率密度为 [*] 那么，X的概率密度f₁(x)和Y的概率密度f₂(y)分别为 [*] 故f(x，y)≠f₁(x)f₂(y)，从而随机变量X和Y不独立．证明X和Y不相关，即证X和Y的相关系数ρ=0． [*] 因此，有 Cov(X，Y)=E(XY)=∫_-∞^+∞∫_-∞^+∞xyf(x，y)dxdy=[*] 于是，X和Y的相关系数ρ=0．这样，X和Y虽然不相关，但是不独立．

解析

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