设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak-1α≠0．证明α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

admin2018-11-20 81

问题设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组A^kX=0的一个解，但是A^k-1α≠0．证明α，Aα，…，A^k-1α线性无关．

选项

答案用定义证明．方法一设c₁α+c₂Aα+…+c_kA^k-1α=0，要推出每个c_i=0．先用A^k-1乘上式两边，注意到当m≥k时，A^mα=0(因为A^kX=0)，得到c₁A^k-1α=0．又因为A^k-1α≠0，所以c₁=0．上式变为c₂Aα+…+c_kA^k-1α=0．再用A^k-2左乘之，可得到c₂=0．如此进行下去，可证明每个c_i=0．方法二用反证法．如果α，Aα，…，A^k-1α线性相关，则存在不全为0的c₁，c₂，…，c_k，使得c₁α+c₂Aα+…+c_kA^k-1α=0，设其中第一个不为0的系数是c_i，则c_iA^i-1α+…+c_kA^k-1α=0，用A^k-i乘之，得c_iA^k-1α=0．从而A^k-1α=0，与条件矛盾．

解析

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考研数学三

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