设A是n阶实对称矩阵，证明：A可逆的充要条件是存在n阶实矩阵B，使得AB+BTA是正定阵．

admin2017-06-14 55

问题设A是n阶实对称矩阵，证明：A可逆的充要条件是存在n阶实矩阵B，使得AB+B^TA是正定阵．

选项

答案必要性，A可逆，记A的逆矩阵为A^－1，取B=A^－1(要证存在n阶实矩阵B，应从已知条件中去找)，则有 AB+B^TA=AA^－1+(A^－1)^TA=AA^－1+(A^－1)^TA^T=2E， 2E是正定阵，故存在n阶实矩阵B=A^－1，使得AB+B^TA是正定阵．充分性．已知存在n阶实矩阵，使得AB+B^TA正定，由定义，对于任给的ξ≠0，有ξ^T(AB+B^TA)ξ=ξ^TABξ+ξ^TB^TAξ=(Aξ)^T(Bξ)+(Bξ)^TAξ＞0 则对于任给的ξ≠0，应有Aξ≠0，即AX=0唯一零解，故得证A是可逆阵．

解析

转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/jpu4777K

考研数学一

相关试题推荐

设向量组α1，α2，…，αs线性无关，作线性组合β1=α1+μ1αs，β2=α2+μ2αs，…，βs-1=αs-1+μs-1αs，则向量组β1，β2，…，βs-1线性无关，其中s≥2，μi为任意实数．
非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则
设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．A2；
设α=(1，1，1)T，β=(1，0，k)T，若矩阵αβT相似于，则k=__________.
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：(Ⅰ)存在ξi∈(a，b)，使得f(ξi)=f’’(ξi)(i=1，2)；(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得f(η)=f’’(η)．
如果0＜β＜α＜π/2，证明
k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下，求出其全部解．
(2007年试题，22)设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．求矩阵B．
已知矩阵和试判断矩阵A和刀是否相似，若相似则求出可逆矩阵P，使P-1AP=B，若不相似则说明理由．
设A是n阶矩阵，A的第i行、第i列的元素aii=i.j，求A的特征值，特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

随机试题

下列规范性文件中属于行政法规的是()。
商业银行间，纯粹以信用为基础，没有任何担保的借款业务是()。
在计算机辅助系统中，CAM的含义是
称取重量应准确至所取重量的百分之一，称为取用量不得超过规定量的±10%.，一般描述为取用量
计算机网络按照配置划分为()。
为了减少会计工作量，可以将多笔不同交易或事项合在一起，编制多借多贷的会计分录。()
67，49，55，37，43，25，()
一项研究结果________了在梦中各种感官体验出现的频率，结果显示视觉体验居第一，听觉体验居第二，而触觉、嗅觉和味觉体验的出现频率相当低。视觉和听觉处理与大脑的关系要密切得多，多达三分之二的大脑皮层以某种方式参与视觉。因此，视觉如此频繁地在梦中出现___
通常，MAC地址固化在计算机的(10)中。
选取“人员情况表”的“学历”和“所占比例”两列的内容(合计行内容除外)建立“三维饼图”，标题为“人员情况图”，图例位置靠上，数据标志为显示百分比，将图插入到工作表的A9：D20单元格区域内。

最新回复(0)

设A是n阶实对称矩阵，证明：A可逆的充要条件是存在n阶实矩阵B，使得AB+BTA是正定阵．

考研数学一

设向量组α1，α2，…，αs线性无关，作线性组合β1=α1+μ1αs，β2=α2+μ2αs，…，βs-1=αs-1+μs-1αs，则向量组β1，β2，…，βs-1线性无关，其中s≥2，μi为任意实数．

非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则

设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．A2；

设α=(1，1，1)T，β=(1，0，k)T，若矩阵αβT相似于，则k=__________.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：(Ⅰ)存在ξi∈(a，b)，使得f(ξi)=f’’(ξi)(i=1，2)；(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得f(η)=f’’(η)．

如果0＜β＜α＜π/2，证明

k为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下，求出其全部解．

(2007年试题，22)设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．求矩阵B．

已知矩阵和试判断矩阵A和刀是否相似，若相似则求出可逆矩阵P，使P-1AP=B，若不相似则说明理由．

设A是n阶矩阵，A的第i行、第i列的元素aii=i.j，求A的特征值，特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

下列规范性文件中属于行政法规的是()。

商业银行间，纯粹以信用为基础，没有任何担保的借款业务是()。

在计算机辅助系统中，CAM的含义是

称取重量应准确至所取重量的百分之一，称为取用量不得超过规定量的±10%.，一般描述为取用量

计算机网络按照配置划分为()。

为了减少会计工作量，可以将多笔不同交易或事项合在一起，编制多借多贷的会计分录。()

67，49，55，37，43，25，()

通常，MAC地址固化在计算机的(10)中。

选取“人员情况表”的“学历”和“所占比例”两列的内容(合计行内容除外)建立“三维饼图”，标题为“人员情况图”，图例位置靠上，数据标志为显示百分比，将图插入到工作表的A9：D20单元格区域内。