设x＞0时，F(x)=，其中函数f(x)在区间(0，+∞)上连续且单调增加，试证：F(x)在(0，+∞)也单调增加．

admin2020-04-21 63

问题设x＞0时，F(x)=

，其中函数f(x)在区间(0，+∞)上连续且单调增加，试证：F(x)在(0，+∞)也单调增加．

选项

答案自然的想法是求F’(x)．由于F(x)中的第一项变限积分中被积函数除依赖于积分变量t外，还依赖于x，所以要通过变量替换把积分化为只有积分限含有x的变限积分，然后再求导．于是，令u=[*]，则 [*] 代入即得 F’(x)＞0(x＞0，x≠1)，此外还有F’(1)=0．因此，F(x)在(0，+∞)单调增加．

解析

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