设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22—y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，e2，e3)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为

admin2019-07-12 93

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)在正交变换x=Py下的标准形为2y₁²+y₂²—y₃²，其中P=(e₁，e₂，e₃)．若Q=(e₁，e₂，e₃)，则f(x₁，x₂，x₃)在正交变换x=Qy下的标准形为

选项 A、2y₁²—y₂²+y₃²．
B、2y₁²+y₂²—y₃²．
C、2y₁²—y₂²—y₃²．
D、2y₁²+y₂²+y₃²．

答案A

解析设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e₁，e₂，e₃是矩阵A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，1，一1．即有
Ae₁=2e₁，Ae₂=2e₂，A₃=2₃
从而有
AQ=A(e₁，—e₃，e₂)=(Ae₁，—Ae₃，Ae₂)一(2e₁，—(—e₃)，e₂)
=(e₁，—e₃，e₂)

矩阵Q的列向量e₁，—e₃，e₂仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，一1，1．矩阵Q是正交矩阵，有Q^—1=Q^T，上式两端左乘Q^—1，得
Q^—1AQ=Q^TAQ=

从而知f在正交变换x=Py下的标准形为f=2y₁²—y₂²+y₃²．于是选A．

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22—y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，e2，e3)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为

考研数学一

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已知f(x)二阶可导，且f(x)＞0，f(x)f’’(x)－[f’(x)]2≥0(x∈R)．(1)证明f(x1)－f(x2)≥(x1，x2∈R)；(2)若f(0)=1，证明f(x)≥ef(0)x(x∈R)．

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