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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22—y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，e2，e3)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为

设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22—y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，e2，e3)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为

admin2019-07-12  84
问题 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22—y32，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，e2，e3)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为
选项 A、2y12—y22+y32．
B、2y12+y22—y32．
C、2y12—y22—y32．
D、2y12+y22+y32．
答案A
解析 设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e1，e2，e3是矩阵A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，1，一1．即有
    Ae1=2e1，Ae2=2e2，A3=23
从而有
    AQ=A(e1，—e3，e2)=(Ae1，—Ae3，Ae2)一(2e1，—(—e3)，e2)
=(e1，—e3，e2)
    矩阵Q的列向量e1，—e3，e2仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，一1，1．矩阵Q是正交矩阵，有Q—1=QT，上式两端左乘Q—1，得
Q—1AQ=QTAQ=
从而知f在正交变换x=Py下的标准形为f=2y12—y22+y32．于是选A．
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