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  3. 已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A2α线性无关，且A3α＝3Aα－2A2α，试求矩阵A的特征值与特征向量．

已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A2α线性无关，且A3α＝3Aα－2A2α，试求矩阵A的特征值与特征向量．

admin2018-06-12  59
问题 已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A2α线性无关，且A3α＝3Aα－2A2α，试求矩阵A的特征值与特征向量．
选项
答案由于A3α＋2A2α－3Aα＝0，有 A(A2α＋2Aα－3α)＝0＝0(A2α＋2Aα－3α)． 因为α，Aα，A2α线性无关，故必有A2α＋2Aα－3α≠0．所以λ＝0是A的特征值，而k1(A2α＋2Aα－3α)(k1≠0)是矩阵A属于特征值λ＝0的特征向量． 类似地，A3α＋2A2α－3Aα＝0，有 (A－E)(A2α＋3Aα)＝0＝0(A2α＋3Aα)， (A＋3E)(A2α－Aα)＝0＝0(A2α－Aα)． 所以，λ＝1是A的特征值，而k2(A2α＋3Aα)(k2≠0)是属λ＝1的特征向量；λ＝－3是A的特征值，而k3(A2α－Aα)(k3≠0)是属于λ＝－3的特征向量．
解析
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考研数学一

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