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已知A点和B点的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1),线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S,求由S及两平面x=0,z=1所围成的立体体积.
已知A点和B点的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1),线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S,求由S及两平面x=0,z=1所围成的立体体积.
admin
2019-04-08
43
问题
已知A点和B点的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1),线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S,求由S及两平面x=0,z=1所围成的立体体积.
选项
答案
用定积分求之.设高度为z处的截面D
z
的面积为S(z),则所求体积为 V=∫
0
1
S(z)dz. ① 为求S(z),需先求出直线AB的方程.现已知该直线过定点(1,0,0)及其方向向量 s=(0一1,1—0,1—0)=(一1,1,1), 故A,B所在的直线方程为 [*] 即 [*] 设直线上任意一点的坐标为(x,y,z),则截面D
z
的半径为 [*](见图) [*] 则S(z)=πR
2
=π(1—2z+2z
2
),由式①得到所求体积为 V=π(1—2z+2z
2
)dz=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/jD04777K
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考研数学一
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