设向量a=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件aTβ=0，记n阶矩阵A=aβT．求： (Ⅰ)A2； (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量．

admin2013-09-15 106

问题设向量a=(a₁，a₂，…，a_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T都是非零向量，且满足条件a^Tβ=0，记n阶矩阵A=aβ^T．求：
(Ⅰ)A²；
(Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量．

选项

答案(Ⅰ)由题设，a，β都是非零向量，且a^T=o，则β^Ta=0，则A²=(aβ^T)(aβ^T)=(β^Ta)aβ^T=O，即A²为零矩阵． (Ⅱ)由特征值及特征向量的定义，设λ为A的特征值，x为其相应的特征向量，则Ax=λx，x≠0，由前述知A²=D，从而0=AAx=λAx=λ²x，即λ=0，所以A的所有特征值都为0．又A=[*]，不失一般性，可设a₁≠0，b₁≠0，则由初等行变换可化A为[*]，由此Ax=0的基础解系为 [*] 所以A的特征向量为k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n-1ξ_n-1，其中后。k₁，k₂，…，k_n-1是不全为0的任意常数．

解析

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考研数学二

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设向量a=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件aTβ=0，记n阶矩阵A=aβT．求： (Ⅰ)A2； (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量．

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