(2001年)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( )

admin2021-01-25 109

问题 (2001年)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( )

选项 A、-1。
B、0。
C、

D、1。

答案A

解析掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X+Y=n，从而Y=n-X。
由方差的定义：D(X)=E(X²)-[E(X)]²，所以
D(Y)=D(n-X)=E(n-X)²-[E(n-X)]²=E(n²-2nX+X²)-(n-E(X))²
=n²-2nE(X)+E(X²)-n²+2nE(X)-[E(X)]²
=E(X²)-[E(X)]²
=D(X)。
由协方差的性质：Cov(X，c)=0(c为常数)；Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；
Cov(X₁+X₂，Y)=Cov(X₁，Y)+Cov(X₂，Y)，
所以 Cov(X，Y)=Cov(X，n-X)=Cov(X，n)-Cov(X，X)=0-D(X)=-D(X)，
由相关系数的定义，得