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(1998年试题，二)设矩阵是满秩的，则直线与直线( )．
(1998年试题，二)设矩阵是满秩的，则直线与直线( )．
admin
2013-12-27
68
问题
(1998年试题，二)设矩阵
是满秩的，则直线
与直线
( )．
选项
A、相交于一点
B、重合
C、平行但不重合
D、异面
答案
A
解析
本题综合考查了线性代数与空间解析几何中的若干知识点，具有较强综合性．首先，记点P
1
为(a
1
，b
1
，c
1
)，P
2
为(a
2
，b
2
，c
2
)，P
3
为(a
3
，b
3
，c
3
)，向量
由已知矩阵满秩，则其行向量组线性无关，因此由解析几何知识可知，三向量
不共面，因此必有三点P
1
，P
2
。P
3
不共线，又由题设，直线
通过点P
3
，以
为方向向量，而直线
通过点P
1
，以
为方向向量，由前述已知，P
1
，P
2
，P
3
不共线，可得出两直线必相交于一点，选A．解析二经初等变换矩阵的秩不变，即由
知后者的秩仍为3，故而两直线的方向向量v
1
=(a
1
一a
2
，b
1
一b
2
，c
1
一c
2
)与v
2
=(a
2
一a
3
，b
2
一b
3
，c
2
一c
1
)线性无关，可排除选项B和C．在这两条直线上各取一点(a
3
，b
3
，c
3
)和(a
1
，b
1
，c
1
)，可构造另一个向量v
3
=(a
3
一a
1
，b
3
一b
1
，c
3
一c
1
)．若v
1
，v
2
，v
3
共面，则两条直线相交；若v
1
，v
2
，v
3
不共面，则两直线异面，不相交．此时可用混合积
或观察出v
1
+v
2
+v
3
=0知，正确答案为A．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/iC54777K
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