(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，annk；f(A)的对角线元

admin2018-11-23 39

问题 (1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积．
(2)证明上三角矩阵A的方幂A^k与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且A^k的对角线元素为a₁₁^k，a₂₂^k，…，a_nn^k；f(A)的对角线元素为f(a₁₁)，f(a₂₂)，…，f(a_nn)．

选项

答案(1)设A和B都是n阶上三角矩阵，C＝AB，要说明C的对角线下的元素都为0，即i＞j时，c_ij＝0．c_ij＝A的第i个行向量和B的第j个列向量对应分量乘积之和．由于A和B都是n阶上三角矩阵，A的第i个行向量的前面i－1个分量都是0，B的第j个列向量的后面n－j个分量都是0，而i－1＋n－j＝n＋(i－j－1)≥n，因此c_ij＝0． c_ii＝a_i1b_1i＋…＋a_ii-1b_i-1i＋a_iib_ii＋a_ii+1b_i+1i＋…＋a_inb_ni ＝a_iib_ii(a_i1…＝a_ii-1＝0，b_i+1i＝…＝b_ni＝0)． (2)设A是上三角矩阵．由(1)，直接可得A^k是上三角矩阵，并且对角线元素为a₁₁^k，a₂₂^k，a_nn^k．设f(A)＝a_mA^m＋a_m-1A^m-1＋…＋₁A＋a₀E.a_iAⁱ都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A)也是上三角矩阵．f(A)的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是f(a₁₁)，f(a₂₂)，f(a_nn)．

解析

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(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，annk；f(A)的对角线元

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