设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． (1)计算PTDP，其中(Ek为k阶单位矩阵)； (2)利用(1)的结果判断矩阵B一CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2017-04-19 79

问题设

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
(1)计算P^TDP，其中

(E_k为k阶单位矩阵)；
(2)利用(1)的结果判断矩阵B一C^TA^-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

选项

答案(1)P^TDP=[*]；(2)矩阵B—C^TA^-1C是正定矩阵．证明：由(1)的结果知D合同于矩阵M=[*]又D为正定矩阵，所以M为正定矩阵．因M为对称矩阵，故B—C^TA^-1C为对称矩阵．由M正定，知对m维零向量x=(0，0，…，0)^T及任意的n维非零向量y=(y₁，y₂，…，y_n)^T，有

解析

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