2. 考研
  3. 设A=E-ααT，其中α为n维非零列向量． 证明： (1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量； (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．

设A=E-ααT，其中α为n维非零列向量． 证明： (1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量； (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．

admin2021-11-26  17
问题 设A=E-ααT，其中α为n维非零列向量．
证明：
(1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量；
(2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．
选项
答案(1)令αTα=k，则A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-2ααT+kααT，因为α为非零向量，所以ααT≠O，于是A2=A的充分必要条件是k=1，而αTα=||α||2，所以A2=A的充要条件是α为单位向量． (2)当α是单位向量时，由A2=A得，r(A)+r(E-A)=n，因为E-A=ααT≠O，所以r(E-A)≥1，于是r(A)≤n-1＜n．故A是不可逆矩阵．
解析
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考研数学一

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