已知y=2e2x+(1+x)ex是二阶线性常系数非齐次微分方程y’’+ay’+by=cex的特解，则常数a，b，c分别为________．

admin2020-03-10 39

问题已知y=2e^2x+(1+x)e^x是二阶线性常系数非齐次微分方程y’’+ay’+by=ce^x的特解，则常数a，b，c分别为________．

选项

答案-3，2，-1

解析由二阶线性齐次与非齐次微分方程解的性质与结构以及
y=2e^2x+(1+x)e^x=2e^2x+e^x+xe^x
是y’’+ay’+by=ce^x的特解，知r₁=1，r₂=2是其所对应的齐次微分方程y’’+ay’+by=0的特征方程的根，于是特征方程为
(r-1)(r-2)=0，即r²-3r+2=0，
故齐次微分方程为y’’-3y’+2y=0，从而=-3，b=2．
y^*=xe^x是y’’+ay’+by=ce^x的一个特解，y’^*(x+1)e^x，y’’^*=(x+2)e^x，所以
(x+2)e^x-3(x+1)e^x+2xe^x=ce^x．
所以c=-1．

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