求内接于椭球面的长方体的最大体积．

admin2021-08-02 72

问题求内接于椭球面

的长方体的最大体积．

选项

答案设该内接长方体体积为v，P(x，y，z)(x＞0，y＞0，z＞0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以v=8xyz，x＞0，y＞0，z＞0且满足条件[*].因此需要求出v=8xyz在约束条件[*](x＞0，y＞0，z＞0)下的极大值．设L(x，y，z，λ)=8xyz+[*]，令 [*] ①，②，③分别乘以x，y，z，有8xyz=[*]于是[*]或λ=0(λ=0时，8xyz=0，不合题意，舍去)．将[*]代入④，有[*]—1=0，解得[*] 由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点[*]顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的体积最大长方体，最大体积为[*]

解析

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