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设η1，η2，η3为3个n维向量，已知n元齐次方程组AX＝0的每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，并且r(A)＝n－3，证明η1，η2，η3为AX＝0的一个基础解系．
设η1，η2，η3为3个n维向量，已知n元齐次方程组AX＝0的每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，并且r(A)＝n－3，证明η1，η2，η3为AX＝0的一个基础解系．
admin
2020-03-16
109
问题
设η
1
，η
2
，η
3
为3个n维向量，已知n元齐次方程组AX＝0的每个解都可以用η
1
，η
2
，η
3
线性表示，并且r(A)＝n－3，证明η
1
，η
2
，η
3
为AX＝0的一个基础解系．
选项
答案
因为r(A)＝n－3，所以AX＝0的基础解系包含3个解．设γ
1
，γ
2
，γ
3
是AX＝0的一个基础解系，则条件说明γ
1
，γ
2
，γ
3
可以用η
1
，η
2
，η
3
线性表示．于是有下面的关于秩的关系式： 3＝r(γ
1
，γ
2
，γ
3
)≤r(η
1
，η
2
，η
3
；γ
1
，γ
2
，γ
3
)＝r(η
1
，η
2
，η
3
)≤3， 从而r(γ
1
，γ
2
，γ
3
)＝r(η
1
，η
2
，η
3
；γ
1
，γ
2
，γ
3
)＝r(η
1
，η
2
，η
3
)， 这说明η
1
，η
2
，η
3
和γ
1
，γ
2
，γ
3
等价，从而η
1
，η
2
，η
3
也都是AX＝0的解；又r(η
1
，η
2
，η
3
)＝3，即η
1
，η
2
，η
3
线性无关，因此是AX＝0的一个基础解系．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/hOA4777K
0
考研数学二
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