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设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai=(i=1，2，…，n)为实数，试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型?
设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai=(i=1，2，…，n)为实数，试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型?
admin
2013-09-03
75
问题
设有n元实二次型f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=(x
1
+a
1
x
2
)
2
+(x
2
+a
2
x
3
)
2
+…+(x
n
+a
n
x
1
)
2
，其中a
i
=(i=1，2，…，n)为实数，试问：当a
1
，a
2
，…，a
n
满足何种条件时，二次型f(x
1
，x
2
，…，x
n
)为正定二次型?
选项
答案
本题有以下两种较为简单的解法： (I)由题设，任给x
1
，x
2
，…，x
n
，都有f(x
1
，x
2
，…，x
n
)≥0， 因此，f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=0当且仅当[*] 该齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是系数行列式不为0， [*] 因此，当1+(-1)
n+1
a
1
a
2
…a
n
≠0时，任给不全为零的x
1
，x
2
，…，x
n
， 都有f(x
1
，x
2
，…，x
n
)＞0，即当a
1
a
2
…a
n
≠(-1)
n
时，f(x
1
，x
2
，…，x
n
)为正定二次型． (Ⅱ)令[*]，此线性变换的矩阵的行列式与(Ⅰ)中行列式相同， 因此当a
1
a
2
…a
n
≠(-1)
n
时，此线性变换可逆，记其逆变换为x=py， 可化原二次型为标准形：y
1
2
+y
2
2
+…+
n
2
， 由于正惯性指数为n，可知原二次型为正定二次型．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/gx54777K
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考研数学一
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