(I)设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，且β与α1，α2，…，αn正交，证明：β=0， (Ⅱ)设α1，α2，…，αn－1为n－1个n维线性无关的向量，α1，α2，…，αn－1与非零向量β1，β2正交，证明：β1，β2线性相关

admin2016-03-18 76

问题 (I)设α₁，α₂，…，α_n为n个n维线性无关的向量，且β与α₁，α₂，…，α_n正交，证明：β=0，
(Ⅱ)设α₁，α₂，…，α_n－1为n－1个n维线性无关的向量，α₁，α₂，…，α_n－1与非零向量β₁，β₂正交，证明：β₁，β₂线性相关

选项

答案(I)令[*]，因为α₁，α₂，．．．，α_n线性无关，所以r(A)=n，又因为α₁，α₂，．．．，α_n与β正交，所以Aβ=0，从而r(A)+r(β)≤n，注意到r(A)=n，于是r(β)=0，即β为零向量 (Ⅱ)方法一：令[*]，B=(β₁，β₂)，因为α₁，α₂，．．．，α_n－1线性无关，所以r(A)=n－1，又因为α₁，α₂，．．．，α_n－1与线性正交，所以AB=0，从而r(A)+r(B)≤n，注意到r(A)=n－1，所以r(B)≤1，即β₁，β₂线性相关方法二：令[*]，因为α₁，α₂，．．．，α_n－1线性无关，所以r(A)=n－1，因为α₁，α₂，．．．，α_n－1与β₁，β₂正交，所以β₁，β₂为方程组AX=0的两个解，而方程AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β₁，β₂线性相关

解析

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考研数学一

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(I)设α1，α2，…，αn为n个n维线性无关的向量，且β与α1，α2，…，αn正交，证明：β=0， (Ⅱ)设α1，α2，…，αn－1为n－1个n维线性无关的向量，α1，α2，…，αn－1与非零向量β1，β2正交，证明：β1，β2线性相关

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