2. 考研
  3. 设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t-sint，y=φ(t)=1-cost(0≤t≤2π)。 (Ⅰ)求证：由L的参数方程可以确定连续函数y=y(x)，并求它的定义域； (Ⅱ)求曲线L与x轴所围图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积V。

设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t-sint，y=φ(t)=1-cost(0≤t≤2π)。 (Ⅰ)求证：由L的参数方程可以确定连续函数y=y(x)，并求它的定义域； (Ⅱ)求曲线L与x轴所围图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积V。

admin2022-04-08  102
问题 设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t-sint，y=φ(t)=1-cost(0≤t≤2π)。
(Ⅰ)求证：由L的参数方程可以确定连续函数y=y(x)，并求它的定义域；
(Ⅱ)求曲线L与x轴所围图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积V。
选项
答案(Ⅰ)证明：由已知可得 φ’(t)=1-cost≥0，φ(0)=0，φ(2π)=2π， 则φ(t)在[0，2π]上单调增加，且值域为[φ(0)，φ(2π)]=[0，2π]。 由x=φ(t)=t-sint在[0，2π]上连续可知其在[0，2π]上存在连续的反函数t=φ-1(x)，且定义域为[0，2π]。所以y(x)=ψ[φ-1(x)]在[0，2π]上连续。 (Ⅱ)由旋转体的体积公式(绕y轴旋转)，有 V=2π∫02πxydx=2π∫02π(t-sint)(1-cost)2dt=2π∫02πt(1-cost)2dt， 令t=2π-s，则 V=2π∫02π(2π-s)(1-coss)2ds=4π2∫02π(1-coss)2ds-V， [*] 上式中，∫02πsint(1-cost)2dt=∫-ππsint(1-cost)2dt=0由周期函数与奇函数的积分性质直接得出。 [*]
解析
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考研数学二

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