已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1 (C＞0，AC—B2＞0)为中心在原点的椭圆，求它的面积．

admin2018-11-21 58

问题已知平面曲线Ax²+2Bxy+Cy²=1 (C＞0，AC—B²＞0)为中心在原点的椭圆，求它的面积．

选项

答案椭圆上点(x，y)到原点的距离平方为d²=x²+y²，条件为Ax²+2Bxy+Cy²一1=0．令F(x，y，λ)=x²+y²一A(Ax²+2Bxy+Cy²一1)，解方程组 [*] 将①式乘x，②式乘y，然后两式相加得 [(1一Aλ)x²一Bλxy]+[一Bλxy+(1一Cλ)y²]=0，即 x²+y²=λ(Ax²+2Bxy+Cy²)=λ，于是可得d=[*]．从直观知道，函数d²的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组F’_x=0，F’_y=0有非零解，其系数行列式应为零，即 [*] 该方程一定有两个根λ₁，λ₂，它们分别对应d²的最大值与最小值．因此，椭圆的面积为 [*]

解析只需求椭圆的半长轴a与半短轴b，它们分别是椭圆上的点到中心(原点)的距离的最大值与最小值．因此，归结为求解条件极值问题．

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考研数学一

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