设三阶矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3对应的特征向量依次为α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T。 (Ⅰ)将向量β=(1，1，3)T用α1，α2，α3线性表示； (Ⅱ)求Anβ。

admin2017-01-14 50

问题设三阶矩阵A的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3对应的特征向量依次为α₁=(1，1，1)^T，α₂=(1，2，4)^T，α₃=(1，3，9)^T。
(Ⅰ)将向量β=(1，1，3)^T用α₁，α₂，α₃线性表示；
(Ⅱ)求Aⁿβ。

选项

答案(Ⅰ)设x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃=β，即 [*] 解得x₁=2，x₂=-2，x₃=1，故β=2α₁-2α₂+α₃。 (Ⅱ)Aβ=2Aα₁-2Aα₂+Aα₃，则由题设条件可得 Aⁿβ=2Aⁿα₁-2Aⁿα₂+Aⁿα₃=2α₁-2×2ⁿα₂+3ⁿα₃=[*]

解析

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考研数学一

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