2. 考研
  3. 设f(χ)在[a，b ]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝f(ξ)．

设f(χ)在[a，b ]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝f(ξ)．

admin2019-08-23  56
问题 设f(χ)在[a，b ]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝f(ξ)．
选项
答案不妨设f(a)＞0，f(b)＞0，f([*])＜0，令φ(φ)＝e－χf(χ)，则 φ′(χ)＝e－χ[f′(χ)－f(χ)]． 因为φ(a)＞0，φ([*])＜0，φ(b)＞0，所以存在ξ1∈(a，[*])，ξ2∈([*]，b)， 使得φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得φ′(ξ)＝0， 即e－ξ[f′(ξ)＝－f(ξ)]＝0，因为e－ξ≠0，所以f′(ξ)＝f(ξ)．
解析
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考研数学二

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