设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A～B，则下列命题中 ①AB～BA； ②A2～B2； ③AT～BT； ④A－1～B－1。正确的个数为( )

admin2018-02-07 73

问题设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A～B，则下列命题中
①AB～BA；
②A²～B²；
③A^T～B^T；
④A^－1～B^－1。
正确的个数为( )

选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、4。

答案D

解析因A～B，可知存在可逆矩阵P，使得P^－1AP=B，于是
P^－1A²P=B²，P^TA^T(P^T)^－1=B^T，P^－1A^－1P=B^－1，
故A²～B²，A^T～B^T，A^－1～B^－1。
又由于A可逆，可知A^－1(AB)A=BA，即AB～BA。故正确的命题有四个，所以选D。

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