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已知α=(1,一2,2)T是二次型xTAx=一4x1x2+4x1x3—8x2x3矩阵A的特征向量,求正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换.
已知α=(1,一2,2)T是二次型xTAx=一4x1x2+4x1x3—8x2x3矩阵A的特征向量,求正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换.
admin
2019-02-26
89
问题
已知α=(1,一2,2)
T
是二次型x
T
Ax=
一4x
1
x
2
+4x
1
x
3
—8x
2
x
3
矩阵A的特征向量,求正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换.
选项
答案
二次型矩阵A=[*].设α=(1,一2,2)
T
是矩阵A属于特征值λ的特征向量,则 [*] 于是 [*] 从而A=[*].由特征多项式 [*] 可知矩阵A的特征值为0,0,9. 对λ=0,由(0E一A)x=0得基础解系α
1
=(2,1,0)
T
,α
2
=(一2,0,1)
T
. 因为α
1
,α
2
不正交,故需Schmidt正交化,即 β
1
=α
1
=(2,1,0)
T
,β
2
=α
2
一[*](一2,4,5)
T
. 把β
1
,β
2
,α单位化,得 [*] 那么经正交变换 [*] 因此,二次型化为标准形x
T
Ax=y
T
Ay=[*].
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/dF04777K
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考研数学一
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