求f(x，y，z)=2x+2y—z2+5在区域Ω:x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．

admin2014-02-06 97

问题求f(x，y，z)=2x+2y—z²+5在区域Ω:x²+y²+z²≤2上的最大值与最小值．

选项

答案f(x，y，z)在有界闭区域Ω上连续，一定存在最大、最小值．第一步，先求f(x，y，z)在Ω内的驻点．由[*]在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到．第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x²+y²+z²=2上的最大、最小值，即求f(x，y,z)在条件x²+y²+z²—2=0下的最大、最小值。令F(x，y，z，A)=2x+2y—z²+5+λ(x²+y²+z²一2)，解方程组[*]由①，②→x=y，由③→z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④→x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，④也得x=y一1，z=0．因此得驻点P₁(一1，一1，0)与P₂(1，1，0)．计算得知f(P₁)=1，f(P₂)=9．因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为9，最小值为1．

解析

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考研数学一

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