设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． (1)证明：β，Aβ，A2β线性无关； (2)若A3β=Aβ，求秩r(A一E)及行列式｜A+2E｜．

admin2021-11-09 59

问题设A为3阶矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α₁，α₂，α₃，令β=α₁+α₂+α₃．
(1)证明：β，Aβ，A²β线性无关；
(2)若A³β=Aβ，求秩r(A一E)及行列式｜A+2E｜．

选项

答案(1)设 k₁β+k₂Aβ+k₃A²β=0， ① 由题设Aα_i=λ_iα_i(i=1，2，3)，于是 Aβ=Aα₁+Aα₂+Aα₃=λ₁α₁+λ₂α₂+λ₂α₃， A²β=λ₁²α₁+λ₂²α₂+λ₂²α₃，代入①式整理得 (k₁+k₂λ₁+k₃λ₁²)α₁+ (k₁+k₂λ₂+k₃λ₂²)α₂+ (k₁+k₂λ₃+k₃λ₃²)α₃=0．因为α₁，α₂，α₃是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 [*]

解析

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考研数学二

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设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． (1)证明：β，Aβ，A2β线性无关； (2)若A3β=Aβ，求秩r(A一E)及行列式｜A+2E｜．

考研数学二

若e-x是f(x)的一个原函数，则=()．

设A为3阶方阵，如果A-1的特征值是1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11+A22+A33=．

设α1，α2，α3，α4，β为4维列向量，A=(α1，α2，α3，α4)，若Ax=β的通解为(-1，1，0，2)T+k(1，-l，2，0)T，则求α1，α2，α3，α4，β的一个极大无关组．

设f(x)在[0,1]上连续可导，且f(0)=0,证明：存在ε∈[0,1]，使得f’(ε)=.

设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且,证明：存在ε∈（0,1）,使得f"(ε)≥8.

设=A,证明：数列{an}有界。

设f(x)在[0,2]上连续，且f(0)=0,f(1)=1.证明：存在c∈(0,1),使得f(c)=1-2c

设求f’(x)．

(2010年试题，17)(I)比较的大小，说明理由．(Ⅱ)设求极限

(I)设f(x1，x2，x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定阵；(Ⅱ)设求可逆阵D，使A=DTD．

常见的数据路由(或互连函数)的功能有循环、、、超立方体路由功能、和传播。

网络传输可靠性一般通过确认和________机制保证。

Hecametoinspectthehouse______buyingit.

滑动面贯通后，滑坡开始整体向下滑动，这个阶段称为：

某煤矿中的两个采煤工作面正常通风时的平面布置图如下所示，某日通风区人员发现BC段巷道中的风流发生了反向，通风区组织技术人员进行了分析。下列分析结论中，不可能导致BC段巷道中风流发生反向的是()。

根据《建设项目工程总承包管理规范》(GB／T50358—2005)，工程总承包方项目管理的主要内容有()。【2011、2009年考试真题】

按建标[2003]206号文件的规定,属于设备工器具购置费的有()。

Readthearticlebelowaboutresearchanddevelopmentinindustryandthequestionsontheoppositepage.Foreachquestion13—

Eversincetheriseofindustrialism,educationhasbeen______towardsproducingworkers.

设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． (1)证明：β，Aβ，A2β线性无关； (2)若A3β=Aβ，求秩r(A一E)及行列式｜A+2E｜．

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若e-x是f(x)的一个原函数，则=()．

设A为3阶方阵，如果A-1的特征值是1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11+A22+A33=．

设α1，α2，α3，α4，β为4维列向量，A=(α1，α2，α3，α4)，若Ax=β的通解为(-1，1，0，2)T+k(1，-l，2，0)T，则求α1，α2，α3，α4，β的一个极大无关组．

设f(x)在[0,1]上连续可导，且f(0)=0,证明：存在ε∈[0,1]，使得f’(ε)=.

设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且,证明：存在ε∈（0,1）,使得f"(ε)≥8.

设=A,证明：数列{an}有界。

设f(x)在[0,2]上连续，且f(0)=0,f(1)=1.证明：存在c∈(0,1),使得f(c)=1-2c

设求f’(x)．

(2010年试题，17)(I)比较的大小，说明理由．(Ⅱ)设求极限

(I)设f(x1，x2，x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定阵；(Ⅱ)设求可逆阵D，使A=DTD．

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某煤矿中的两个采煤工作面正常通风时的平面布置图如下所示，某日通风区人员发现BC段巷道中的风流发生了反向，通风区组织技术人员进行了分析。下列分析结论中，不可能导致BC段巷道中风流发生反向的是()。

根据《建设项目工程总承包管理规范》(GB／T50358—2005)，工程总承包方项目管理的主要内容有()。【2011、2009年考试真题】

按建标[2003]206号文件的规定,属于设备工器具购置费的有()。

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某煤矿中的两个采煤工作面正常通风时的平面布置图如下所示，某日通风区人员发现BC段巷道中的风流发生了反向，通风区组织技术人员进行了分析。下列分析结论中，不可能导致BC段巷道中风流发生反向的是()。　