设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． (1)证明：β，Aβ，A2β线性无关； (2)若A3β=Aβ，求秩r(A一E)及行列式｜A+2E｜．

admin2021-11-09 73

问题设A为3阶矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α₁，α₂，α₃，令β=α₁+α₂+α₃．
(1)证明：β，Aβ，A²β线性无关；
(2)若A³β=Aβ，求秩r(A一E)及行列式｜A+2E｜．

选项

答案(1)设 k₁β+k₂Aβ+k₃A²β=0， ① 由题设Aα_i=λ_iα_i(i=1，2，3)，于是 Aβ=Aα₁+Aα₂+Aα₃=λ₁α₁+λ₂α₂+λ₂α₃， A²β=λ₁²α₁+λ₂²α₂+λ₂²α₃，代入①式整理得 (k₁+k₂λ₁+k₃λ₁²)α₁+ (k₁+k₂λ₂+k₃λ₂²)α₂+ (k₁+k₂λ₃+k₃λ₃²)α₃=0．因为α₁，α₂，α₃是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 [*]

解析

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考研数学二

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设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． (1)证明：β，Aβ，A2β线性无关； (2)若A3β=Aβ，求秩r(A一E)及行列式｜A+2E｜．

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设3维列向量组α1，α2，α3线性无关，γ1=α1+α2-α3，γ2=3α1-α2，γ3=4α1-α3，γ4=2α1—2α2+α3，则向量组γ1，γ2，γ3，γ4的秩为()．

已知A=(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T．令C=(α1，α2，α3，α4，b)，求Cx=b的通解．

过点P(1，0)作曲线的切线，求：该平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体体积；

设三角形三边的长分别为a，b，c，此三角形的面积设为S，求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离．

设f(x)在[0,1]上连续可导，且f(0)=0,证明：存在ε∈[0,1]，使得f’(ε)=.

设f(x)是在[a,b]上连续且严格单调的函数，在(a,b)内可导，且f(a)=a﹤b=f(b).证明：存在εi∈(a,b)(i=1,2,...,n),使得.

设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内二阶可导，f(a)=f(b)=0,且g(x)≠0,(x∈[a,b]),g"(x)≠0,(a﹤x﹤b),证明：存在ε∈（a,b)，使得.

设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0.证明：存在ε∈（0,1）,使得.

设求f’(x)并讨论f’(x)在x=0处的连续性．

设求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵。

Wasthecurseofthemummyreal?ThoughthedeathofLordCarnarvonseemedmysterious,itwasprobablymorethe【C1】res________o

企业系统规划法的第三步是()

德国教育家_______是“教师中心论”的代表人物。

动脉枪击音和毛细血管搏动征常见于

企业购买长期股票采用权益法记账时，对被投资企业股东权益的减少，投资企业要按持股比例计算出本企业权益的减少，并相应调减长期投资账户。

用于管理气温变化风险的天气期货属于金融衍生工具。(　　)

承德避暑山庄的修建历经清朝()三代皇帝，耗时约90年建成。

已知sin=；。

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已知A=(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T．令C=(α1，α2，α3，α4，b)，求Cx=b的通解．

过点P(1，0)作曲线的切线，求：该平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体体积；

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设f(x)是在[a,b]上连续且严格单调的函数，在(a,b)内可导，且f(a)=a﹤b=f(b).证明：存在εi∈(a,b)(i=1,2,...,n),使得.

设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内二阶可导，f(a)=f(b)=0,且g(x)≠0,(x∈[a,b]),g"(x)≠0,(a﹤x﹤b),证明：存在ε∈（a,b)，使得.

设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0.证明：存在ε∈（0,1）,使得.

设求f’(x)并讨论f’(x)在x=0处的连续性．

设求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵。

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