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  3. 设4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，a11的代数余子式A11≠0，且｜A｜=0，则下列选项正确的是( )

设4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，a11的代数余子式A11≠0，且｜A｜=0，则下列选项正确的是( )

admin2023-01-04  45
问题 设4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，a11的代数余子式A11≠0，且｜A｜=0，则下列选项正确的是(          )
选项 A、α2，α3，α4必线性相关．
B、α1，α2，α3必线性无关．
C、A*必相似于对角矩阵．
D、A*不相似于对角矩阵．
答案C
解析 由｜A｜=0，知A*A=｜A｜E=O，故
    r(A*)+r(A)≤4．
    又由A11≠0，知r(A*)≥1，所以r(A)≤3．当r(A)＜3时，r(A*)=0，矛盾，故r(A)=3，r(A*)=1．由
   
    知线性无关，故α2，α3，α4线性无关(线性无关的向量增加分量仍线性无关)，排除A．而α1，α2，α3不一定线性无关，排除B．
    由r(A*)=1，知A*的特征值为
    λ1=λ2=λ3=0，λ4=A11+A22+A33+A44≠0，
    故(0E-A*)x=0，即A*x=0有3个线性无关的特征向量α2，α3，α4(由A*A=O，知A的列向量是A*x=0的解，且α2，α3，α4线性无关)，所以A*必相似于对角矩阵．C正确．
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考研数学一

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