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  3. 设函数f(x)在(0，+∞)上连续，且对任意正值a与b，积分∫aabf(x)dx的值与a无关，且f(1)=1．则f(x)=______．

设函数f(x)在(0，+∞)上连续，且对任意正值a与b，积分∫aabf(x)dx的值与a无关，且f(1)=1．则f(x)=______．

admin2019-01-05  113
问题 设函数f(x)在(0，+∞)上连续，且对任意正值a与b，积分∫aabf(x)dx的值与a无关，且f(1)=1．则f(x)=______．
选项
答案[*]
解析 因∫aabf(x)dx与a无关，所以[∫aabf(x)dx]a’≡0，即
    f(ab)b-f(a)≡0．
上式应该对任意a成立，所以令a=1亦应成立，有
f(b)b一f(1)=0，f(b)=
由于b为任意正值，则有f(x)=
可以验算，=ln ab—lna=ln b，与a无关．
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考研数学三

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