2. 考研
  3. 设f(x)在[一2，2]上有连续的导数，且f(0)=0，F(x)=∫-xxf(x+t)dt，证明级数绝对收敛．

设f(x)在[一2，2]上有连续的导数，且f(0)=0，F(x)=∫-xxf(x+t)dt，证明级数绝对收敛．

admin2017-05-10  59
问题 设f(x)在[一2，2]上有连续的导数，且f(0)=0，F(x)=∫-xxf(x+t)dt，证明级数绝对收敛．
选项
答案由于f(x)在[一2，2]上有连续的导数，则｜f’(x)｜在[一2，2]上连续，设M为｜f’(x)｜在[一2，2]上的最大值，则x∈[一1，1]时， F(x)=∫-xx(x+t)dt=∫02xf(u)du=∫02xf(u)d(u一2x) =f(u)(u一2x)｜02x—∫02xf’(u)(u一2x)du=一∫02xf’(u)(u一2x)du，由此可得 ｜F(x)｜≤M∫02x(2x一u)du=2Mx2，x∈[一1，1]． 因此[*]收敛，由比较判别法可得[*]收敛，即[*]绝对收敛．
解析
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考研数学三

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