(1999年)设生产某种产品必须投入两种要素，x1和x2分别为两要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为Q=2x1αx2β，其中α，β为正常数，且α+β=1。假设两种要素的价格分别为p1和p2，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?

admin2021-01-25 75

问题 (1999年)设生产某种产品必须投入两种要素，x₁和x₂分别为两要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为Q=2x₁^αx₂^β，其中α，β为正常数，且α+β=1。假设两种要素的价格分别为p₁和p₂，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?

选项

答案设两种要素的总投入费用为P，则由题意得P=p₁x₁+p₂x₂，题目问产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小，即求函数P=p₁x₁+p₂x₂在约束条件Q=2x₁^αx₂^β一12=0下的条件最值。按拉格朗日乘数法，作函数 F(x₁，x₂，λ)=p₁x₁+p₂x₂+λ(2x₁^αx₂^β一12)，为求驻点求偏导并令其为零，即 [*] 由前两式可得[*]，解出x₂代入第三个式子，得[*]因为驻点唯一，且实际问题在x₁＞0，x₂＞0的范围内存在最小值，故[*]时P为最小。

解析

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考研数学三

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考研数学三

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