2. 考研
  3. 设A(2，2)，B(1，1)，Γ是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(x)，且它与围成的面积为2，又φ(y)有连续导数，求曲线积分I=∫Γ[πφ(y)cosπx一2πy]dx+[φ’(y)sinπx一2π]dy．[img][/img]

设A(2，2)，B(1，1)，Γ是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(x)，且它与围成的面积为2，又φ(y)有连续导数，求曲线积分I=∫Γ[πφ(y)cosπx一2πy]dx+[φ’(y)sinπx一2π]dy．[img][/img]

admin2019-06-04  54
问题 设A(2，2)，B(1，1)，Γ是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(x)，且它与围成的面积为2，又φ(y)有连续导数，求曲线积分I=∫Γ[πφ(y)cosπx一2πy]dx+[φ’(y)sinπx一2π]dy．[img][/img]
选项
答案把该曲线积分分成两部分，其中一个积分的被积表达式易求原函数，另一积分可添加辅助线[*]后用格林公式． I=∫Γπφ(y)cosπxdx+φ’(y)sinπxdy-2πdy+∫Γ(-2πy)[*]I1+I2， 其中I1=∫Γφ(y)dsinπx+sinπxdφ(y)-d(2πy)=∫Γd(φ(y)sinπx-2πy) =[φ(y)sinπx+2πy]｜AB=2π 为用格林公式求I2，添加辅助线[*]．F与[*]围成区域D，并构成D的负向边界， [*] 于是 [*] 又[*]的方程：y=x，x∈[1，2]，则 [*]=∫12-2πxdx=-πx2｜12 因此 I2=∫Γ(-2πy)dx=-4π-[*] =-4π+3π=-π. 故 I=I1+I2=π．
解析
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考研数学一

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