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设A是三阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量，证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．
设A是三阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量，证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．
admin
2019-06-28
65
问题
设A是三阶实矩阵，λ
1
，λ
2
，λ
3
是A的三个不同的特征值，ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
是三个对应的特征向量，证明：当λ
2
λ
3
≠0时，向量组ξ
1
，A(ξ
1
+ξ
2
)，A
2
(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)线性无关．
选项
答案
因 [ξ
1
，A(ξ
1
+ξ
2
)，A
2
(ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
)]=[ξ
1
，λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
，λ
1
2
ξ
1
+λ
2
2
ξ
2
+λ
3
2
ξ
3
]=[ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
][*] 又λ
1
≠λ
2
≠λ
3
，故ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关，由上式知 ξ
1
，A(ξ
1
+ξ
2
)，A
2
(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)线性无关←→[*]=λ
2
λ
3
2
≠0，即λ
2
λ
3
≠0．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/a4V4777K
0
考研数学二
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