过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成。求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

admin2018-04-14 112

问题过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成。求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

选项

答案设切点坐标为A(x₀，lnx₀)，斜率为1／x₀，所以设切线方程为 y－lnx₀=1／x₀(x－x₀)，又因为该切线过(0，1)，所以x₀=e²，故切线方程为y=1／x²x+1。 L与x轴交点为B(1，0)，直线AB的方程为y=[*](x－1)。区域D的面积为 [*] =e²+1－(e²－1)=2。旋转一周所围成的体积为 V=V₁－V₂ [*] =(2e²－2)π－[*]π=2／3(e²－1)π。

解析

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考研数学二

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交换二次积分的积分次序：
微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为
设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x>0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1/2，0)．求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．
因为y＝ex在实数域内严格单调增加，又在区间[－2，－1]上1≤－x3≤8，－8≤x3≤－1，所以在区间[－2，－1]上e≤e－x3≤e8，e－8≤ex3≤e－1＜e，由定积分的性质知[*]
设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则
设平面区域D：1≤x2+y2≤9，f(x，y)是区域D上的连续函数，则等于()．
(Ⅰ)证明积分中值定理：设f(x)在[a，b]上连续，则存在ξ∈[a，b]，使∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)；(Ⅱ)若φ(x)有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，证明至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ’’(ζ)
(1997年试题，二)设则g[f(x)]=()．
设则二次型的对应矩阵是__________．
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