2. 考研
  3. (Ⅰ)证明积分中值定理：设f(x)在[a，b]上连续，则存在ξ∈[a，b]，使∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)； (Ⅱ)若φ(x)有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，证明至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ’’(ζ)

(Ⅰ)证明积分中值定理：设f(x)在[a，b]上连续，则存在ξ∈[a，b]，使∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)； (Ⅱ)若φ(x)有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，证明至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ’’(ζ)

admin2013-09-15  112
问题 (Ⅰ)证明积分中值定理：设f(x)在[a，b]上连续，则存在ξ∈[a，b]，使∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)；
  (Ⅱ)若φ(x)有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，证明至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ’’(ζ)＜0．
选项
答案(Ⅰ)设M和m分别是连续函数f(x)在区间[a，b](b＞a)上的最大值和最小值，则有m(b-a)≤∫abf(x)≤M(b-a)． 不等式两边同除以(b-a)，得到[*] 显然[*] 是介于函数f(x)的最大值和最小值之间的， 根据闭区间上连续函数的介值定理可知，在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得函数f(x)在该点处的函数值和[*] 等式两边同乘以(b-a)可得[*] (Ⅱ)由积分中值定理可得，至少存在一点η∈(2，3)，使得∫23φ(x)dx=φ(η)． 又φ(2)＞∫23φ(x)dx，所以有φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞φ(η)。 因为φ(x)有二阶导数，所以由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ1∈(1，2)， 使得[*]且至少存在一点ξ1∈(2，η)， 使得[*]再由拉格朗日微分中值定理可知， 至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2)，使得[*]
解析
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考研数学二

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