设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效． (Ⅰ)求一只器件在时间T0未失效的概率； (Ⅱ)求λ的最大似然估计

admin2018-03-30 70

问题设某种电子器件的寿命(以小时计)^T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间T₀结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效．
(Ⅰ)求一只器件在时间T₀未失效的概率；
(Ⅱ)求λ的最大似然估计．

选项

答案(Ⅰ)记T的分布函数为F(t)，则 [*] 一只器件在t=0时投入试验，则在时间T₀以前失效的概率为P{T≤T₀}=F(T₀)=1一[*]，故在时间T₀未失效的概率为 P{T＞T₀}=1一F(T₀)=[*]． (Ⅱ)考虑事件A={试验直至时间T₀为止，有k只器件失效，n一k只未失效}的概率．由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件A的概率为 L(λ)=C_n^k(1一[*])^n—k，这就是所求的似然函数．取对数得 [*] 解得λ的最大似然估计为 [*]

解析

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考研数学三

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