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设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0，证明{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N*都有

admin2016-01-20  72
问题 设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0，证明{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N*都有
选项
答案先证必要性。 设数列{an}的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立。 若d≠0，则 [*] 再证充分性。 (数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N*都成立。 首先，在等式[*]两端同乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2=a1+d。 假设ak=a1+(k-1)d，当n=k+1时，观察如下两个等式 [*] 在该式两端同乘a1akak+1得，(k-1)ak+1+a0=kd。 将ak=a1+(k-1)d代入其中，整理，得ak+1=a1+kd。 由数学归纳法原理知，对一切n∈N*，都有an=a1+(n-1)d。 所以{an}是公差为d的等差数列。 综上所述，{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N*，都有[*]
解析
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